混沌系统的小波基控制

王忠勇　蔡远利　贾　冬

　　基于小波在紧支集中能够任意逼近非线性连续函数的特性，采用小波基展开的方法实现了混沌运动的控制.通过对Duffing等典型混沌运动的控制仿真表明，该方法可行，控制效果较好.
PACC： 0545

WAVELET BASE CONTROL FOR CHAOS MOTION

WANG ZHONG-YONG

(Department of electronic engineering,Zhengzhou University,Zhengzhou 450052)

CAI YUAN-LI JIA DONG

(Department of automatic control,Xi'an Jiaotong University,Xi'an 710049)

ABSTRACT　Based on the property that the wavelet can approximate any nonlinear continuous function in the compact supporting set,a new method is presented to control chaos.By this method the trajectories of some typical chaotic systems,such as Duffing equation,Lorenz model,etc.,are controlled to the target orbits or points.It is proved that the wavelet base control algorithm is feasible and control effect is better.
PACC： ： 0545

1　引言

　　自1990年Ott等人^［1］提出OGY控制混沌运动方法以来，混沌控制的研究成为了非线性科学的一个新的研究方向，它吸引了众多学者在这个领域开展工作.到目前为止，已报道了不少控制混沌的方法.从控制理论角度来看，所有这些方法，无外乎分为两种：一种是非反馈即开环控制方法，如参数扰动^［2］、传递和转移控制^［3］及周期激振力^［4］方法等；另一种是有反馈即闭环控制方法，如OGY^［1］，OPF^［5］，VFC^［6］及自适应控制方法^［7］等等.本文即是依据反馈控制原理，结合小波分析理论，提出了一种基于小波基展开的控制混沌运动的方法.这种方法只需给出控制的目标轨道(或目标点)，就可实现混沌的控制，并且系统很快就能达到控制目标.通过对Duffing等典型混沌运动的控制仿真表明，小波基控制方法是一种可行的控制混沌的方法，其控制效果较好.

2　小波基控制方法简介

　　小波是目前许多科学和工程技术领域研究的极为活跃的热门问题之一.小波可以作为表示函数的一种基底，也可以作为时间-频率分析的一种技术.在用小波表示函数方面，Zhang等^［8］依据神经网络的思想，构造出了以小波函数为基底的网络，即小波网络.这种网络是一种局部基函数网络，由于基函数是具有可调的分辨尺度函数，使得网络具有较强的非线性逼近能力.利用这种网络Cao等^［9］成功地实现了混沌的预测.本文是在Zhang的小波网络基础上通过选取小波基函数，然后将这些小波函数进行适当地加权组合来实现混沌的控制.
　　利用小波基网络实现对系统的控制，其原理是将小波基网络作为系统的控制器，以系统的状态(或输出)，或者是系统的目标值与输出值之差作为网络的输入，网络的输出u作为控制信号，通过一定的规则去调整权增益，从而实现系统的控制.下面给出小波基网络构造的基本原理和方法.
　　设n维离散混沌系统为y(k+1)＝f［y(k)］，加控制信号u(k)后变为y(k+1)＝f［y(k)］+u(k).其中k代表离散系统中差分的步数.n×1向量y(k)表示k步时刻系统的状态变量，u(k)即表示小波网络输出.小波基网络如图1所示.由图中结构可得

　　　　　　　　　　　　　　　(1)

图1　小波基网络结构

其中权系数w_i为n×1向量；这里ψ为Rⁿ→R上的小波函数，取为Morlet小波；为n×n的矩阵；小波函数的平移因子b_i为n×1的列向量；小波函数的伸缩因子a_i＝(a_i1,…,a_in)^T为A_i的相关向量.
　　设y_r为目标点，u^*为相应的控制输入.k时刻系统状态为y(k)，对时刻k+1有

y(k+1)＝f［y(k)］+u(k),　　　　　　　　　　　　　　　(2)

y_r(k+1)＝f［y(k)］+u^*(k).　　　　　　　　　　　　　　　(3)

　　定义e(k+1)＝y(k+1)-y_r(k+1),则有e(k+1)＝u(k)-u^*(k).又定义能量函数为
,则有

由此可得权系数修正公式为

　　　　　　　　　　　　(4)

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

η为修正因子，初始权值w_i(0)可选为0.
　　对连续系统类似地可以推得同样公式.
　　在这里可以看出利用小波基控制系统接下来的问题就是如何选取a_i和b_i.因为如果伸缩因子a_i和平移因子b_i选择不适当，那末ψ就不能对所要求的非线性映射进行逼近.一般而言，实际系统的输出(或状态)范围往往可以得到.若单变量系统状态的变化区间为［f_min,f_max］，b₁是该区间的某一点，即b₁=ξ₁(f_max+f_min)，a₁则相应地取为区间的收缩，有a₁＝ξ₂(f_max-f_min)，ξ₁和ξ₂的典型值即是0.5，这样间隔［f_min,f_max］就分成了两个子区间；然后再在每个子区间，重复同样的步骤，进行第二、第三次划分，并选取a₂,b₂和a₃,b₃，以此类推，直到所有的小波都被初始化.这样变量使用到的小波元个数为N＝2⁰+2¹+…+2^m个，m为区间划分的次数，此时所需学习的权系数也为N个.同理也可将区间［f_min,f_max］分成3部分来选取a_i和b_i.当然也可以将两种方法混合使用.对于n维变量情况a_i和b_i实际为向量(a_ij)和(b_ij,j＝1,2,…，n，这两者可以按单变量的方法，对各分量进行独立处理，然后对这样独立处理后得到的(a_ij)和(b_ij)进行所有的组合.
　　对大部分系统，每一个变量一般取2次划分即可.当然小波数目取得越多，控制的效果会越好.只是网络的结构会变复杂，但当小波的数目多到一定程度后，个数的增加对系统的控制作用影响不大，此时只能增加网络的复杂程度.
　　下面给出Logistic映射和Duffing方程混沌运动控制的实现过程.前者是一个离散系统，本文用系统状态作为小波网络输入，将其控制到不稳定平衡点；后者是一个二维的非自治系统，本文用误差作为小波网络的输入，将其稳定到周期轨道.
2.1　控制混沌系统到目标点
　　系统的控制结构如图2所示，图中y_r(k)为系统希望控制的目标点，y(k)为系统输出状态.若混沌系统为y(k+1)＝f［y(k)］,网络输出为u(k)，即控制施加于混沌系统的形式为y(k+1)＝f［y(k)］+u(k),依据上面的讨论可得算法1，算法中，K为学习步数，L为学习遍数，K_c为控制步数.

图2　混沌系统小波基控制结构图(Ⅰ)

　　算法1　期望目标为某一固定点
2.1.1　学习算法
　　(1) 选取伸缩系数a_i和平移因子b_i，小波元个数N；
　　(2) 令权系数w_i的初始值为0，并给定修正因子η数值；
　　(3) 令学习遍数l＝0；
　　(4) 随机选取混沌系统初值，并去掉暂态过程，给定系统目标值y_r;
　　(5) 令学习步数k＝0；
　　(6) 依据(5)式修正权系数；
　　(7) 若k＜K,则k＝k+1，返回(6)，否则转至(8)；
　　(8) 若l＜L,则l＝l+1,返回(4)，否则结束.
2.1.2　控制算法
　　(1) 给定系统初值y(0)及系统目标值y_r,并令k＝0；
　　(2) 以系统状态y(k)作为网络输入，用学习好的权系数按(1)式计算控制u(k)，同时计算系统输出y(k+1);
　　(3) 若k＜K_c，则k＝k+1，返回(2)，否则转至(4)；
　　(4) 以时间t为横轴，y(k)和y_r为纵轴绘制曲线，若经过一定时间后，两曲线重合(误差允许范围内)，则输出结果，系统控制结束；否则重新调整学习因子η,或者增大L，K，返回学习算法中的(3).
　　算例1　Logistic映射是具有一维相空间的系统，它描述了生物群体的演化，具有如下形式

y(k+1)＝μy(k)(1-y(k)).　　　　　　　　　　　　　(6)

已经证明，当3.57＜μ≤4.0系统呈现混沌运动状态.
　　考虑μ＝4.0的情况，此时平衡点为＝0.75，加上控制后，系统方程变为

y(k+1)=4.0y(k)(1-y(k))+u(k),　　　　　　　　　　　　　(7)

依据算法1，取K＝100,L＝1000,η＝0.1，小波的个数为3，ξ₁＝ξ₂＝0.5，同时考虑到y在(0，1)的范围内变化，得a₁＝0.5，a₂＝0.25，a₃＝0.25，b₁＝0.5，b₂＝0.25，b₃＝0.75.若控制时取初始点y(0)＝0.05，目标点为平衡点即y_r＝0.75，则可得施加控制后系统的轨迹如图3所示.由图可见，系统经过两步，即控制到了目标点，而且从此以后一直稳定在该点.

图3　Logistic映射的小波基控制

2.2　控制混沌系统到周期轨道
　　图4给出了另一种混沌控制结构，图中y_r(t)为系统期望轨道，y(t)为系统的状态输出.e(t)是期望轨道和输出轨道之差.若期望轨道的周期为T秒，采样周期为Δt,则期望轨道一周期内的采样点数为L＝T/Δt，若学习步数为K，控制步数为K_c，则有

图4　混沌系统的小波基控制结构图(Ⅱ)

算法2　期望目标为周期轨道

2.2.1　学习算法
　　(1) 选取伸缩系数a_i,b_i和小波元个数N；
　　(2) 选定期望周期轨道y_r(t);
　　(3) 取定混沌系统的初值，并去掉暂态过程，给定学习因子η；
　　(4) 令k＝0；
　　(5) 令J＝0；
　　(6) 令l＝0；
　　(7) 计算e(l)＝y_r(l)-y(l),J＝J+e²(l)；
　　(8) 计算z_i(l)＝A_i(e(l)-b_i)，并依据(5)式修正权系数，同时计算网络输出和系统输出；
　　(9) 若l＜L,则返回(7)，否则转至(10)；
　　(10) 如果J未达到最小，令k＝k+1,返回(5)，否则结束.
2.2.2　控制算法
　　(1) 给定系统初值y(0)和目标轨道y_r(t)；
　　(2) 令k＝0；
　　(3) 计算e(k)＝y_r(k)-y(k);
　　(4) 用学习好的权值计算小波网络输出，并计算混沌系统输出y(k)；
　　(5) 若k＜K_c，则k＝k+1,否则，转至(6)；
　　(6) 以时间t为横轴，y_r(t)和y(t)为纵轴绘制曲线，若经过一定时间后，两曲线重合(误差允许范围内)，则输出结果，系统控制结束，否则重新调整学习因子η,或重新取系统初值，返回学习算法中的(3).
　　算例2　受迫Duffing振子是工程中典型的非线性振动问题，无量纲化后的数学描述为

+k+y³＝Bcost.　　　　　　　　　　　　　　　(8)

它是没有线性恢复力的受迫Duffing方程，代表了一个受简谐激励结构的大弹性变形的运动.已经证明B＝10.0，k＝0.1时系统处于混沌运动状态.将上式化为状态方程，并施加控制u作用于B，则系统方程变为

₁＝y₂，

₂＝-0.1y₂-y³₁+(10.0+u)cost.　　　　　　　　　(9)

　　控制时，以B＝14.35时的轨道作为目标轨道，其周期p＝1，时间为6.28s.由系统相图知，混沌轨迹位于y₁和y₂两坐标的［-4.0，4.0］×［-6.0，6.0］区域内，采用第二种划分方式，可分别计算出a_ij和b_ij，有　a₁₁＝a₂₁＝8/3，a₁₂＝a₂₂＝4.0，b₁₁＝-4/3，b₂₁＝4/3，b₁₂}＝-2.0，b₂₂＝2.0.向量a_i和b_i为　a₁＝［a₁₁,a₁₂］^T,a₂＝［a₁₁,a₂₂］^T，a₃＝［a₂₁,a₁₂］^T，a₄＝［a₂₁,a₂₂］^T和b₁＝［b₁₁,b₁₂］^T,b₂＝［b₁₁,b₂₂］^T，b₃＝［b₂₁,b₁₂］^T，b₄＝［b₂₁,b₂₂］^T，小波基网络的结构如图5所示.

图5　小波网络结构

　　训练时取初始点y₁(0)＝0.3，y₂(0)＝0.4，并去掉100s的暂态过程，采样时间为0.01s，取L＝628，K＝100，K_c＝15000，η＝0.29.则控制后系统相轨迹如图6中的曲线1所示，图中曲线2为期望的目标轨道.由图可见，控制效果较好.

图6　Duffing系统施加控制后的相轨迹

2.3　分析与讨论
　　(1) 控制方案不唯一性　前面利用图2的控制方案将Logistic的混沌运动控制到了不动点，同样也可用图4的原理去控制它.这里以Lorenz混沌系统为例来阐明图4原理也可控制混沌运动到目标点，依据算法1，取K＝100，L＝7000，η＝0.1，小波元个数取为7，采样时间为0.1s,积分步长为0.01s.若控制时取初始点为(-8.49，-8.49，27.00)，目标点为平衡点即(8.49，8.49，27.00)，则可得施加控制后Lorenz系统的响应曲线如图7所示，系统大约经过2s,即控制到了目标点，而且从此以后一直稳定在该点，控制效果较为满意.当然也可用图2原理框图控制混沌运动到周期轨道.

图7　Lorenz系统施加控制后的相轨迹

　　(2) 关于控制目标　控制混沌系统到目标点时，该目标点不仅仅限于系统的不动点，也可以是混沌区域内的其他点.
　　(3) 关于控制信号　图8中曲线2为4.0y(k)(1-y(k))，曲线3为小波网络输出信号u(k)，曲线1是曲线2和曲线3的叠加，即为4.0y(k)(1-y(k))+u(k).由曲线1容易说明，(0，1)区间内的任意初始点都将收敛于0.75处，即此时系统由混沌运动状态变为了规则运动状态.曲线1的平坦区域则使控制响应的过渡过程缩短.

图8　控制曲线u(k)与输出状态y(k)

　　(4) 关于噪声对系统的影响　对Duffing方程的小波控制，在₁，₂两式右端加入均值为0，方差为1的扰动δ₁和δ₂，δ₁和δ₂彼此互相独立，并且具有高斯型概率分布密度.有

　　　　　　　　　(10)

取噪声幅值A₁,A₂均为1.5，可得控制后，系统的相轨迹如图9所示，它与OGY方法控制时，A₁,A₂取0.5时的效果差不多.可见小波控制系统的抗噪性比OGY控制方法要好.对Logistic映射同样可施加扰动，经仿真可得，当噪声幅值为0.05时，系统输出y(k)在目标值y_r±0.2范围内变化，当噪声幅值为0.02时，系统输出y(k)在目标值y_r±0.05范围内变化.

图9　噪声对系统的影响　

3　结束语

　　从以上讨论可以看出，基于小波基网络的混沌控制由于其控制作用采用闭环形式，再加之网络中权系数可以自学习，使得这种方法的适用面较广，控制精度较高；又由于只学习了各小波元的权系数，网络学习时参数调整少，加之小波基函数具有紧支集，小波元间的互相影响小，因此网络学习速度较快，系统的过渡过程时间较短.

国家自然科学基金(批准号：19402011)资助的课题.
Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No.19402011).
作者单位：王忠勇　郑州大学电子工程系，郑州　450052
　　　　　蔡远利　贾　冬　西安交通大学自动控制系，西安　710049

［1］　E.Ott et al.,Phys.Rev.Lett.,64(1990),1196.
［2］　R.Lima et al.,Phys.Rev.,A41(1990)，726.
［3］　E.A.Jackson,Physica,D50(1991),341.
［4］　Y.Braiman et al.,Phys.Rev.Lett.,66(1991),2545.
［5］　B.Peng et al.,J.Phys.,Chem.,95(1991),4957.
［6］　G.Hu et al.,J.Phys.,Int.J.Bifurcation and chaos.,5(1995),901.
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［8］　Q.Zhang et al.,IEEE Trans.On Neutral Network,3(1992),889.
［9］　L.Y.Cao et al.,Physica D85(1995),225.

(1998年3月6日收到；1998年8月2日收到修改稿)
(Received 6 March 1998; revised manuscript received 2 August 1998)