Trasformatori
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Introduzione
Formalmente, i trasformatori non trasformano energia meccanica in energia elettrica (né viceversa), e come tali non rientrano pienamente nella definizione di macchina elettrica. Tuttavia, i principi di funzionamento di questo dispositivo sono del tutto simili a quelli dei generatori e motori elettrici.1. Modello ideale
Assunzioni di modello:
Il modello del circuito magnetico sotto le quattro ipotesi semplificative
sopra diventa:
Affinchè il circuito abbia senso deve essere $N_1 i_1 = N_2 i_2$, da cui
subito
- Permeabilità del ferro \(\mu_\text{Fe} \rightarrow +\infty\).
- No flusso disperso.
- Conduttori ideali (resistenza nulla).
- No isteresi magnetica.
\[\frac{i_2}{i_1} = \frac{N_1}{N_2} \triangleq K,\] | (1) |
\[v_1 = N_1\,\frac{d\phi}{dt},\quad v_2 = N_2\,\frac{d\phi}{dt}.\] |
\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{K}.\] | (2) |
2. Modello a permeabilità finita
Il modello a permeabilità finita rimuove la prima ipotesi semplificativa del trasformatore per cui $\mu_\text{Fe} \to \infty$. Il circuito magnetico equivalente deve quindi tenere in conto della riluttanza del ferro, supposta costante e pari a $R_\text{Fe}$. Il circuito magnetico è come quello mostrato in Figura 4. Risovendo il circuito magnetico si trova\[\phi = \frac{N_1 i_1 - N_2 i_2}{R_\text{Fe}}.\] | (3) |
\[v_1 = N_1\,\frac{d\phi}{dt},\quad v_2 = N_2\,\frac{d\phi}{dt},\] |
\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{K}.\] | (4) |
\[i_2 = \frac{N_1}{N_2}i_1 - \frac{R_\text{Fe}\phi}{N_2} = K\left(i_1 - \frac{R_\text{Fe}}{N_2 K}\int_0^t \frac{v_1(\tau)}{N_1} d\tau\right).\] |
\[\frac{R_\text{Fe}}{N_1N_2 K}\int_0^t v_1(\tau) d\tau = \frac{R_\text{Fe}}{N_1^2}\int_0^t v_1(\tau) d\tau\] |
3. Modello con flusso disperso
Questo modello rimuove le prime due ipotesi semplificative: la permeabilità del ferro è finita (riluttanza costante $R_\text{Fe}$ come prima) e parte del flusso generato dalle spire si disperde e concatena in aria. Il circuito magnetico equivalente è mostrato in Figura 6. I flussi concatenati agli avvolgimenti sono della forma\[\Psi_1 = N_1\phi_1 = \left(\frac{N_1^2}{R_\text{Fe}} + \frac{N_1^2}{R_a}\right) i_1 - \frac{N_1N_2}{R_\text{Fe}}i_2\] |
\[\Psi_2 = N_2\phi_2 = \left(\frac{N_2^2}{R_\text{Fe}} + \frac{N_2^2}{R_a}\right) i_2 - \frac{N_1N_2}{R_\text{Fe}}i_1\] |
\[v_1 = \frac{d\Psi_1}{dt} = j\omega\Psi_1,\quad v_2 = -\frac{d\Psi_2}{dt}=-j\omega\Psi_2,\] |
\[\begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j\omega L_1 & - j\omega M\\ j\omega M & - j\omega L_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_1\\ i_2 \end{pmatrix}\] | (5) |
\[\mathbf{Z} = \begin{pmatrix} j(X_0 + X_1) & -j(X_0 / K)\\ j(X_0 / K) & -j(X_0/K^2 + X_2/K^2) \end{pmatrix},\] |