Trasformatori

Introduzione

Formalmente, i trasformatori non trasformano energia meccanica in energia elettrica (né viceversa), e come tali non rientrano pienamente nella definizione di macchina elettrica. Tuttavia, i principi di funzionamento di questo dispositivo sono del tutto simili a quelli dei generatori e motori elettrici.
Figure 1: Trasformatore

1. Modello ideale

Assunzioni di modello:
  • Permeabilità del ferro \(\mu_\text{Fe} \rightarrow +\infty\).
  • No flusso disperso.
  • Conduttori ideali (resistenza nulla).
  • No isteresi magnetica.
Il modello del circuito magnetico sotto le quattro ipotesi semplificative sopra diventa:
Figure 2: Circuito magnetico equivalente del trasformatore ideale.
Affinchè il circuito abbia senso deve essere $N_1 i_1 = N_2 i_2$, da cui subito
\[\frac{i_2}{i_1} = \frac{N_1}{N_2} \triangleq K,\] (1)
dove il rapporto spire $K$ è anche comunemente detto rapporto di trasformazione. D'altra parte, con riferimento alla Figura 1, vale istantaneamente la legge di induzione di Faraday
\[v_1 = N_1\,\frac{d\phi}{dt},\quad v_2 = N_2\,\frac{d\phi}{dt}.\]
Dall'ultima relazione è evidente che
\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{K}.\] (2)
Le Equazioni 1 e 2 insieme caratterizzano completamente il doppio bipolo trasformatore ideale. Il componente elettrico risultante è usualmente rappresentato dal simbolo di Figura {fig:trans ideale ele}.
Figure 3: Circuito elettrico equivalente del trasformatore ideale.

2. Modello a permeabilità finita

Il modello a permeabilità finita rimuove la prima ipotesi semplificativa del trasformatore per cui $\mu_\text{Fe} \to \infty$. Il circuito magnetico equivalente deve quindi tenere in conto della riluttanza del ferro, supposta costante e pari a $R_\text{Fe}$. Il circuito magnetico è come quello mostrato in Figura 4.
Figure 4: Circuito magnetico equivalente del trasformatore a permeabilità finita.
Risovendo il circuito magnetico si trova
\[\phi = \frac{N_1 i_1 - N_2 i_2}{R_\text{Fe}}.\] (3)
Per la legge di Faraday risulta ancora
\[v_1 = N_1\,\frac{d\phi}{dt},\quad v_2 = N_2\,\frac{d\phi}{dt},\]
e come prima abbiamo
\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{K}.\] (4)
Per caratterizzare completamente il doppio bipolo, è sufficiente trovare il valore della corrente $i_2$ in funzione di $v_1$ e $i_1$. A tal fine notiamo che
\[i_2 = \frac{N_1}{N_2}i_1 - \frac{R_\text{Fe}\phi}{N_2} = K\left(i_1 - \frac{R_\text{Fe}}{N_2 K}\int_0^t \frac{v_1(\tau)}{N_1} d\tau\right).\]
Il secondo addendo in parentesi è della forma
\[\frac{R_\text{Fe}}{N_1N_2 K}\int_0^t v_1(\tau) d\tau = \frac{R_\text{Fe}}{N_1^2}\int_0^t v_1(\tau) d\tau\]
e corrisponde alla corrente che scorre in un induttore di induttanza $L_0 = N_1^2/R_\text{Fe}$ interessato da una caduta di potenziale pari a $v_1$. Il bipolo doppio in questione è quindi esternamente equivalente al circuito elettrico di Figura 5, dove l'induttanza $L_0$ è stata sostituita dalla reattanza $X_0 = \omega L_0$ (i trasformatori sono solitamente usati in regime sinusoidale permanente).
Figure 5: Circuito elettrico equivalente del trasformatore a permeabilità finita.

3. Modello con flusso disperso

Questo modello rimuove le prime due ipotesi semplificative: la permeabilità del ferro è finita (riluttanza costante $R_\text{Fe}$ come prima) e parte del flusso generato dalle spire si disperde e concatena in aria. Il circuito magnetico equivalente è mostrato in Figura 6.
Figure 6.
I flussi concatenati agli avvolgimenti sono della forma
\[\Psi_1 = N_1\phi_1 = \left(\frac{N_1^2}{R_\text{Fe}} + \frac{N_1^2}{R_a}\right) i_1 - \frac{N_1N_2}{R_\text{Fe}}i_2\]
\[\Psi_2 = N_2\phi_2 = \left(\frac{N_2^2}{R_\text{Fe}} + \frac{N_2^2}{R_a}\right) i_2 - \frac{N_1N_2}{R_\text{Fe}}i_1\]
dove si riconoscono nei diversi coefficienti le auto e mutue induttanze del circuito. A differenza di prima, questa volta caratterizziamo il doppio bipolo risolvendo $v_1, v_2$ in funzione di $i_1, i_2$. Per semplicità, lavoriamo già in regime sinusoidale permanente, cosicché per esprimere derivate e integrali è sufficiente moltiplicare o dividere per $j\omega$. Per la legge di Faraday,
\[v_1 = \frac{d\Psi_1}{dt} = j\omega\Psi_1,\quad v_2 = -\frac{d\Psi_2}{dt}=-j\omega\Psi_2,\]
da cui:
\[\begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j\omega L_1 & - j\omega M\\ j\omega M & - j\omega L_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_1\\ i_2 \end{pmatrix}\] (5)
La matrice delle impedenze appena determinata è compatibile con la realizzazione del doppio bipolo di Figura 7. Infatti, la matrice delle impedenze del circuito di figura è pari a
\[\mathbf{Z} = \begin{pmatrix} j(X_0 + X_1) & -j(X_0 / K)\\ j(X_0 / K) & -j(X_0/K^2 + X_2/K^2) \end{pmatrix},\]
che coincide con quella dell'Equazione 5 a patto di porre $X_0 = KM$, $X_1 = L_1 - KM$, $X_2 = L_2 - M/K$.
Figure 7: Circuito magnetico equivalente del trasformatore con flusso disperso.

4. Modello completo

È possibile modellare i fenomeni dissipativi sui conduttori (perdita per effetto Joule) e sul ferro (perdite per isteresi e correnti parassite) introducendo degli opportuni resistori nel circuito di Figura 7.
Figure 8: Circuito elettrico equivalente del trasformatore con flusso disperso.