Macchina sincrona

Contents

Introduzione

Consideriamo un giunto in cui lo statore è alimentato da una terna di correnti simmetriche ed equilibrate come descritte per lo studio del campo rotante. Sul rotore è invece inserita una spira percorsa dalla corrente costant $i_r$. Il momento torcente che si manifesta sulla spira di rotore è pari a
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}_r} \wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}}) = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}_r} \wedge \mathbf{\bar{B}_s}),\]
dove al solito $\mathbf{\bar{B}_s}, \mathbf{\bar{B}_r}$ sono i fasori spaziali campo di induzione al traferro rispettivamente generati dalle spire di rotore e di statore, mentre $\mathbf{\bar{B}_\text{tot}} = \mathbf{\bar{B}_s} + \mathbf{\bar{B}_r}$ è il campo totale di induzione al traferro. Affinchè il momento torcente sia costante nel tempo, è necessario che il prodotto vettore $\mathbf{\bar{B}_r}\wedge\mathbf{\bar{B}_s}$ non dipenda dal tempo. Dato che $i_r$ è costante, il modulo di $\mathbf{\bar{B}_r}$ è costante. Dalle equazioni del giunto elettromagnetico sappiamo che $\mathbf{\bar{B}_s}$ è un vettore di modulo costante che ruota a velocità angolare $\omega$. È allora necessario che il rotore ruoti alla stessa velocità angolare, affinchè il prodotto vettore rimanga costante. Generalmente l'asse magnetico di rotore insegue l'asse magnetico equivalente di statore, rimanendo ad una distanza angolare $\theta$ fissata da quest'ultimo.

1. Equazione caratteristica

Calcoliamo il flusso concatenato in una fase di statore, assumendo che tutte le spire abbiamo lo stesso numero $N$ di avvolgimenti. Il campo di induzione indotto dalle 3 spire di statore è descritto dal fasore spaziale $\mathbf{\bar{B}_s}$. Il fasore spaziale flusso di statore dovuto allo statore stesso è
\[\mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}} = \frac{3}{2}\left(\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0 N_s^2}{2t}\right) i_s\mathbf{\hat{s}} = \frac{3}{2}L_s i_s\mathbf{\hat{s}}=\frac{3}{2}L_s\mathbf{\bar{I}_s},\]
dove $\mathbf{\hat{s}}$ è il versore magnetico del campo di statore e $\mathbf{\bar{I}_s}$ il fasore corrente equivalente di statore. Il flusso concatenato alla spira di statore di versore magnetico $\mathbf{\hat{m}}$ è pertanto $\mathbf{\bar{\Psi}_s}\cdot\mathbf{\hat{m}}$. Il fasore flusso di statore dovuto alla spira di rotore è invece
\[\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}} = L_m i_r\mathbf{\hat{r}} = L_m\mathbf{\bar{I}_r},\] (1)
dove $\mathbf{\hat{r}}$ è il versore magnetico della spira rotorica e $L_m$ rappresenta la (massima) mutua induttanza tra la spira rotorica e una qualsiasi spira statorica. La differenza di potenziale indotta nella spira statorica $\mathbf{\hat{m}}$ dal campo $\mathbf{\bar{B}_s}$ è pari a
\[\frac{d}{dt}(\mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}\cdot \mathbf{\hat{m}}) = \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}}{dt}\cdot\mathbf{\hat{m}} = \frac{3}{2}L_s\frac{d\mathbf{\bar{I}_s}}{dt}\cdot\mathbf{\hat{m}}\]
Dato che $\mathbf{\bar{I}_s}$ è un vettore che ruota a velocità $\omega$, la sua derivata è, in termini di numeri complessi, pari a $j\omega\mathbf{\bar{I}_s}$. L'equazione che lega la forza elettromotrice indotta dal campo statorico alla corrente del monofase di spira è compatibile a quella di un induttore di reattanza $X_s \triangleq (3/2) \omega L_s$, detta reattanza sincrona. Analogamente, si trova che la differenza di potenziale indotta ai capi della spira ad opera del campo rotorico è
\[\frac{d}{dt}(\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}\cdot\mathbf{\hat{m}}) = \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt}\cdot\mathbf{\hat{m}}\]
Per la generica spira statorica di versore magnetico $\mathbf{\hat{m}}$ vale quindi
\[\mathbf{\bar{V}_{s}}\cdot\mathbf{\hat{m}} = (R_s\mathbf{\bar{I}_{s}})\cdot\mathbf{\hat{m}} + \left(jX_s\mathbf{\bar{I}_{s}}\right)\cdot\mathbf{\hat{m}} + \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt}\cdot\mathbf{\hat{m}}.\] (2)
Dato che l'Equazione 2 vale per ogni $\mathbf{\hat{m}}$, è possibile "dividere" per $\mathbf{\hat{m}}$ e ottenere un'equazione ancora valida:
\[\mathbf{\bar{V}_{s}} = R_s\mathbf{\bar{I}_{s}} + jX_s\mathbf{\bar{I}_{s}} + \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt}.\] (3)
Il circuito equivalente di statore, espresso in termini dei fasori spaziali, è quindi quello descritto dalla Figura 1.
Figure 1: Circuito monofase equivalente della macchina sincrona, espresso in termini di fasori spaziali
Infine, vale la pena notare che, per come sono stati costruiti, non si commette nessun grosso errore a pensare ai fasori spaziali di spira $\mathbf{\bar{I}_s}$ e $\mathbf{\bar{V}_s}$ come fasori in senso tradizionale: il diagramma fasoriale in senso classico del monofase di spira si ottiene dal diagramma spaziale per rotazione di una quantità fissa rispetto all'origine.

2. Potenza meccanica

La potenza meccanica assorbita dal sistema è $\mathbf{T}\cdot\mathbf{\omega}$. Dall'Equazione del momento nel giunto elettromagnetico sappiamo che il momento torcente agente sulla spira rotorica è
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}_r}\wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}}) = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}_r} \wedge \mathbf{\bar{B}_s}).\]
L'angolo tra $\mathbf{\bar{B}_r}$ e $\mathbf{\bar{B}_s}$ è costante e uguale a $\theta$ per costruzione:
\[T = \frac{V_0}{2\mu_0}\left(\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0}{2t}\right)^2 N_s N_r \left(\frac{3}{2}i_s\right) i_r \sin\theta = \frac{3}{2}\frac{4\pi rlN_s N_r}{t} i_s i_r \sin\theta = \frac{3}{2}L_m i_s i_r \sin\theta.\]
Pertanto,
\[P_\text{mecc} = \mathbf{T}\cdot\mathbf{\omega} = \frac{3}{2}\omega L_m i_s i_r \sin\theta.\]
Dimostriamo che tale potenza coincide con la potenza erogata dai 3 generatori di tensione delle spire statoriche. In virtù dell'Equazione della potenza in termini di fasori spaziali, la potenza (attiva) totale erogata dai tre generatori è
\[P_\text{gen} = -\frac{3}{2}\left(\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt} \cdot\mathbf{\bar{I}_s}\right).\]
Ricordando (Equazione 1) che $\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}} = L_m\mathbf{\bar{I}_r}$, e passando ai numeri complessi vale
\[P_\text{gen} = -\frac{3}{2}\, \text{Re}(j\omega L_m \bar{I}_r \bar{I}_s^*).\]
(l'asterisco indica il coniugio). L'angolo tra $I_r$ e $I_s$ vale $\theta$, in quanto entrambi i vettori sono allineati agli assi magnetici. Sviluppando il prodotto si trova quindi
\[P_\text{gen} = \frac{3}{2} \omega L_m i_r i_s \sin(\theta),\]
come atteso. La stessa uguaglianza vale anche proiettata per il singolo monofase: la potenza meccanica dovuta alla singola spira è uguale alla potenza attiva erogata dal generatore monofase.

3. Angolo di carico

Dal punto di vista geometrico, l'Equazione 3 può essere rappresentata come in Figura 2 quando $\bar{I}_s > 0$, cioè quanto la macchina funziona come motore. L'angolo $\varphi$ rappresenta lo sfasamento tra corrente e tensione del generatore di tensione, mentre l'angolo $\delta$, rappresentante lo sfasamento tra corrente e tensione statoriche prende il nome di angolo di carico.
Figure 2: Diagramma fasoriale della macchina sincrona con funzione di motore ($I_s > 0$, potenza assorbita). L'angolo $\delta$ è detto angolo di carico.
Nel caso di uso come generatore, il diagramma di Figura 2 cambia di poco, e tutte le relazioni che deriveremo continuano a funzionare, a patto di ammettere angoli negativi. Assumendo la resistenza statorica trascurabile, cioè $R_s \approx 0$, valgono le relazioni
\[{\bar{V}_s}\sin\delta = X_s\bar{I}_s\cos \varphi,\]
\[{\bar{V}_s}\cos\delta = \bar{E}+X_s\bar{I}_s\sin\varphi.\]
La potenza attiva assorbita dalla terna trifase di generatori di tensione, equivalente alla potenza meccanica fornita dal motore per quanto visto prima, è pari a
\[P_\text{mot} = \frac{3}{2}(\bar{E}\, \bar{I}_s \cos\varphi) = \frac{3}{2}\frac{\bar{E}\, \bar{V}_s}{X_s}\sin \delta.\] (4)
Nelle applicazioni pratiche, il valore di $\bar{V}_s$ è imposto (la macchina fa parte di un circuito trifase più ampio), così come quello di $\bar{E}$, che dipende dalla corrente di eccitazione e dalla frequenza delle correnti statoriche. Perciò l'Equazione 4 mostra come in questa situazione l'unico modo di variare la potenza generata dal motore sia quella di agire sull'angolo $\delta$.

Contents