Macchina asincrona

1. Circuito rotorico

Dato che il rotore è chiuso in corto circuito, deve essere, sulla generica spira rotorica di versore magnetico $\mathbf{\hat{r}}$:
\[\frac{d}{dt}(\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}}\cdot\mathbf{\hat{r}} + \mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}}\cdot\mathbf{\hat{r}}) + R_r\mathbf{\bar{I}_r} \cdot\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{0}.\]
Per le proprietà della derivata, l'equazione è allora equivalente a
\[\left(\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}}}{dt} + \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}}}{dt}\right)\cdot\mathbf{\hat{r}} + (\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}} + \mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}})\cdot\frac{d\mathbf{\hat{r}}}{dt} + R_r\mathbf{\bar{I}_r}\cdot\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{0}.\]
In condizioni di regime sinusoidale permanente, vale, come noto:
\[\mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}} = (3L_m/2)\mathbf{\bar{I}_s}, \quad \mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}} = (3L_r/2)\mathbf{\bar{I}_r}.\]
Il vettore $\mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}}$ ruota a velocità angolare $\omega$, come noto dallo studio del campo rotante. Meno ovvio è determinare la velocità angolare di $\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}}$. Tuttavia, è facile notare che nel riferimento inerziale solidale allo statore, le correnti di statore formano un campo rotante alla velocità angolare $\omega - \omega_r$. La velocità angolare del flusso autoconcatenato di statore è pertanto $\omega$, che è quindi sincrona alla velocità angolare del flusso generato dallo statore. Questo implica anche che il fasore spaziale corrente di statore e corrente di rotore sono sincroni (ma non è vero che le correnti sono isofrequenziali). Le derivate dei fasori flusso che compaiono all'interno dell'equazione rotorica sono quindi
\[\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}}}{dt} = j\omega(3L_m/2)\mathbf{\bar{I}_s},\quad \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}}}{dt} = j\omega(3L_r/2)\mathbf{\bar{I}_r}.\]
Ricordando inoltre che $d\mathbf{\hat{r}}/dt = j\omega_r\mathbf{\hat{r}}$, svolgendo i prodotti scalari e dividendo per $\mathbf{\hat{r}}$ otteniamo infine:
\[j(\omega - \omega_r) \frac{3L_r}{2}\mathbf{\bar{I}_r} + j(\omega - \omega_r) \frac{3L_m}{2}\mathbf{\bar{I}_{s}} + R_r\mathbf{\bar{I}_r}= \mathbf{0}.\] (1)

2. Circuito statorico

Detto $\mathbf{\hat{m}}$ il versore magnetico di una generica spira statorica, deve essere
\[\frac{d}{dt}(\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}\cdot\mathbf{\hat{m}} + \mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}\cdot\mathbf{\hat{m}}) + R_s\mathbf{\bar{I}_s}\cdot\mathbf{\hat{m}} = \mathbf{\bar{V}_s}\cdot\mathbf{\hat{m}}.\]
A differenza delle spire rotoriche, le spire statoriche sono immobili, per cui è possibile estrarre il prodotto per $\mathbf{\hat{m}}$ dalla derivata. Dividendo per $\mathbf{\hat{m}}$ si ha l'equazione
\[\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}}{dt} + \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt} + R_s\mathbf{\bar{I}_s} = \mathbf{\bar{V}_s}.\]
Ricordando che vale
\[\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}}{dt} = j\omega \frac{3L_s}{2} \mathbf{\bar{I}_s}, \quad \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt} = j\omega \frac{3L_m}{2} \mathbf{\bar{I}_r},\]
otteniamo l'equazione fasoriale di statore:
\[j\omega\frac{3L_s}{2}\mathbf{\bar{I}_s} + j\omega \frac{3L_m}{2}\mathbf{\bar{I}_r} + R_s\mathbf{\bar{I}_s} = \mathbf{\bar{V}_s}.\] (2)

3. Scorrimento e potenza meccanica

Definiamo scorrimento la quantità
\[x \triangleq 1 - \frac{\omega_r}{\omega},\]
cosicchè $x = 0$ quando il rotore raggiunge la veloctià di sincronismo $\omega$. Invertendo l'equazione, si trova $\omega_r = (1-x)\omega$. Sfruttiamo lo scorrimento per eliminare $\omega_r$ dalle Equazioni 1 e 2, giungendo al sistema di equazioni
\[\begin{array}{c} \mathbf{0} = j\omega x L'_r \mathbf{\bar{I}_r} + j\omega x L'_m \mathbf{\bar{I}_s} + R_r\mathbf{\bar{I}_r}\\ \\ \mathbf{\bar{V}_s} = j\omega L'_s\mathbf{\bar{I}_s} + j\omega L'_m\mathbf{\bar{I}_r} + R_s\mathbf{\bar{I}_s} \end{array}\] (3)
(si è posto per comodità $L'_m\triangleq (3/2)L_m, L'_s\triangleq (3/2)L_s$). Per trovare un "buon" circuito equivalente, ovvero uno sul quale è facile leggere la potenza meccanica generata o assorbita, determiniamo prima la potenza meccanica del sistema. Sappiamo che, detti $\mathbf{\bar{B}_\text{tot}}$ il fasore campo di induzione al traferro e $\mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{m}}}$ il campo di induzione generato dalla spira rotorica di versore magnetico $\mathbf{\hat{m}}$, la coppia meccanica che interessa la spira si calcola come
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{m}}}\wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}})\]
La coppia meccanica sperimentata dal rotore è la somma dei contributi delle tre spire, i cui versori magnetici sono indicati con $\mathbf{\hat{a}}, \mathbf{\hat{b}}, \mathbf{\hat{c}}$. Per linearità del prodotto vettore, considerando che $\mathbf{\bar{B}_\text{tot}}$ non dipende dalla spira rotorica scelta, si ha
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{a}}} + \mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{b}}} + \mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{c}}}) \wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}}\]
In virtù della definizione di fasore corrente equivalente di rotore, possiamo riscrivere l'ultima equazione sostituendo il termine in parentesi come segue:
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0} \left(\frac{3}{2}\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0 N_r}{2t}\right) \mathbf{\bar{I}_r}\wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}}.\]
Il campo di induzione totale è somma dei campi di induzione di statore e rotore. Tuttavia, il campo di induzione generato dal rotore è parallelo al fasore $\mathbf{I}_r$, pertanto scompare dal prodotto vettore, e possiamo scrivere
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}\left(\frac{3}{2}\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0N_r}{2t}\right) \mathbf{\bar{I}_r}\wedge \mathbf{\bar{B}_s} = \frac{V_0}{2\mu_0}\left(\frac{3}{2}\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0}{2t}\right)^2 N_r N_s \mathbf{\bar{I}_r}\wedge\mathbf{\bar{I}_s} = \frac{3}{2} L'_m \mathbf{\bar{I}_r}\wedge\mathbf{\bar{I}_s}.\]
Dall'Equazione 3 si trova
\[\mathbf{\bar{I}_s} = j\frac{R_r}{\omega x L'_m} \mathbf{\bar{I}_r},\]
da cui, sostituendo nell'espressione della coppia:
\[\mathbf{T} = \frac{3}{2} L'_m \mathbf{\bar{I}_r}\wedge\left(j\frac{R_r}{\omega x L'_m}\mathbf{\bar{I}_r}\right).\]
Ricordando che per vettori espressi come numeri complessi vale $\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \text{Im}(\mathbf{a}^*\mathbf{b})\mathbf{\hat{z}}$,
\[T = \frac{3}{2}\left(\frac{R_r}{\omega x}\right) \bar{I}_r^2.\] (4)
La potenza meccanica in gioco è quindi pari a
\[P_\text{mecc} = T\omega_r = \frac{3}{2}\left(\frac{1-x}{x} R_r\right) \bar{I}_r^2.\] (5)
È allora evidente che l'espressione della potenza meccanica coincide con quella della potenza assorbita da un carico resistivo equilibrato di resistenza $R_r(1-x)/x$.

4. Circuiti equivalenti

Definendo le tre reattanze, riferite alla pulsazione $\omega$, $X_{s,r,m} \triangleq \omega L'_{s,r,m}$, le equazioni caratteristiche del monofase equivalente di statore sono:
\[\begin{array}{l} \mathbf{0} = jxX_r \mathbf{\bar{I}_r} + jxX_m \mathbf{\bar{I}_s} + R_r \mathbf{\bar{I}_r}\\ \\ \mathbf{\bar{V}_s} = jX_s \mathbf{\bar{I}_s} + jX_m \mathbf{\bar{I}_r} + R_s\mathbf{\bar{I}_s}. \end{array}\] (6)
Si dimostra facilemente che le equazioni sopra sono equivalenti (esternamente) al circuito di Figura 1, che rappresenta il monofase equivalente della macchina.
Figure 1: Circuito monofase equivalente della macchina asincrona.
Il circuito di Figura 1 ha delle prorietà interessanti, che lo rendono espressivo:
  • La corrente in ingresso è pari in modulo alla corrente statorica.
  • La corrente che confluisce da destra all'induttanza trasversale è pari in modulo alla corrente rotorica.
  • La potenza dissipata sul resistore $R_s$ rappresenta le perdite statoriche per effetto Joule.
  • La potenza dissipata sul resistore $R_r$ raprresenta le perdite rotoriche per effetto Joule.
  • La potenza assorbita dal resistore $R_r(1-x)/x$ rappresenta, come desideravamo, (un terzo) della potenza meccanicha erogata dalla macchina.
È possibile dimostrare che il circuito di Figura 2 fornisce un bipolo equivalente a quello di Figura 1, per qualunque scelta del valore reale $\gamma$. Anche per il circuito di Figura 2 è possibile mettere in evidenza l'elemento che dissipa potenza equivalente a quella meccanica del sistema.
Figure 2: Circuito monofase equivalente della macchina asincrona.
Scegliendo $\gamma = X_s/X_m$ la reattanza $X_s - \gamma X_m$ si annulla; scegliendo $\gamma = X_m / X_r$ invece si annulla la reattanza $\gamma^2 X_r - \gamma X_m$. In entrambi i casi un induttore scompare dal circuito. Nel primo caso si ottiene il circuito con induttore di corto circuito rotorico, nel secondo caso il circuito con induttore di corto circuito statorico.

5. Modello ridotto e individuazione dei parametri

La Figura 3 mostra il circuito con induttore di corto circuito rotorico, a cui è stata aggiunta la resistenza parallela $R_0$ per tenere conto delle perdite nel circuito magnetico. L'asterisco apposto a $R_r$ sta ad indicare che i parametri derivano dalla trasformazione matematica del circuito derivata nel paragrafo precedente, e non coincide con il valore della resistenza fisica propra dell'Equazione 6.
Figure 3: Circuito monofase equivalente con induttore di corto circuito rotorico.
Al fine dell'individuazione dei parametri, si procede con le seguenti prove:
  • Prova a vuoto, ovvero senza carico meccanico. Si ottiene portando il rotore a sincronismo, spesso con un motore esterno, cosicché $x =0$. Il circuito statorico in condizione di prova a vuoto è mostrato in Figura 4(a). La prova a vuoto lega i parametri $R_s$, $R_0$ e $X_0$.
  • Prova a rotore bloccato. Il rotore viene tenuto meccanicamente immobile, cosicché $x = 1$. La corrente che fluisce nel parallelo $R_0 \| X_0$ è spesso trascurabile, e il circuito statorico in condizione di prova a rotore bloccato è mostrato in Figura 4(b). La prova a rotore bloccato lega tra loro i parametri $R_s$, $R_r^*$ e $L_{kr}$.
Figure 4: (a) Prova a vuoto ($x=0$); (b) Prova a rotore bloccato ($x=1$).
Infine, è importante notare che ai fini pratici, normalmente il circuito di Figura 3 viene spesso approssimato con quello di Figura 5, in cui la resistenza $R_s$ è stata mossa. Tale approssimazione è valida per i funzionamenti a carico, ma non direttamente per la stima dei parametri nella prova a vuoto.
Figure 5: Circuito monofase approssimato.

6. Caratteristica meccanica

Solitamente, la macchina fa parte di un circuito trifase più ampio, che per questo vincola la tensione (di fase) statorica e la pulsazione $\omega$. Supponendo che $\mathbf{\bar{V}_s}$ sia nota, è possibile ricavare $T$ in funzione dello scorrimento $x$ e dei parametri propri della macchina (resistenze e induttanze). Infatti, con riferimento alla Figura 5, la potenza dissipata dalla resistenza $R_r^*(x-1)/x$, coincidente con la potenza meccanica generata dalla macchina, è
\[P_\text{mecc} = \frac{3}{2}\,\frac{1-x}{x}\frac{R_r^* V_s^2}{{\left(R_s+\displaystyle\frac{R_r^*}{x}\right)^2 + X_{kr}^2}}.\]
Il momento torcente è allora $T = P_\text{mecc} / \omega_r$, ovvero $T = P_\text{mecc} / (\omega(1-x))$, cioè
\[T = \frac{3}{2} \frac{R_r^* V_s^2}{\omega} \frac{x}{x^2(R_s^2 + X_{kr}^2) + x(2R_r^* R_s) + (R_r^*)^2}.\] (7)
Per valori ragionevoli dei parametri della macchina, il grafico dell'Equazione 7 ha la forma di quello mostrato in Figura 6. Dall'Equazione 7 notiamo subito che la caratteristica è quasi lineare nell'intorno di $x=0$. Vale infatti
\[T = \left(\frac{3}{2}\, \frac{V_s^2}{\omega R_r^*}\right) x + o(x),\quad x\to 0.\]
Notiamo inoltre che la coppia massima si raggiunge per
\[x = \frac{R_r^*}{\sqrt{R_s^2 + X_{kr}^2}},\]
come si determina con facili calcoli considerando la derivata prima della funzione $T(x)$.
Figure 6: Diagramma momento torcente – scorrimento.
Il diagramma momento torcente – velocità rotorica si ottiene dalla Figura 6 per omotetia, ed è mostrato in Figura 7.
Figure 7: Diagramma momento torcente – velocità rotorica.