Macchina asincrona
Contents
1. Circuito rotorico
Dato che il rotore è chiuso in corto circuito, deve essere, sulla generica spira rotorica di versore magnetico $\mathbf{\hat{r}}$:\[\frac{d}{dt}(\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}}\cdot\mathbf{\hat{r}} + \mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}}\cdot\mathbf{\hat{r}}) + R_r\mathbf{\bar{I}_r} \cdot\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{0}.\] |
\[\left(\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}}}{dt} + \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}}}{dt}\right)\cdot\mathbf{\hat{r}} + (\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}} + \mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}})\cdot\frac{d\mathbf{\hat{r}}}{dt} + R_r\mathbf{\bar{I}_r}\cdot\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{0}.\] |
\[\mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}} = (3L_m/2)\mathbf{\bar{I}_s}, \quad \mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}} = (3L_r/2)\mathbf{\bar{I}_r}.\] |
\[\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|s}}}{dt} = j\omega(3L_m/2)\mathbf{\bar{I}_s},\quad \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{r|r}}}{dt} = j\omega(3L_r/2)\mathbf{\bar{I}_r}.\] |
\[j(\omega - \omega_r) \frac{3L_r}{2}\mathbf{\bar{I}_r} + j(\omega - \omega_r) \frac{3L_m}{2}\mathbf{\bar{I}_{s}} + R_r\mathbf{\bar{I}_r}= \mathbf{0}.\] | (1) |
2. Circuito statorico
Detto $\mathbf{\hat{m}}$ il versore magnetico di una generica spira statorica, deve essere\[\frac{d}{dt}(\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}\cdot\mathbf{\hat{m}} + \mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}\cdot\mathbf{\hat{m}}) + R_s\mathbf{\bar{I}_s}\cdot\mathbf{\hat{m}} = \mathbf{\bar{V}_s}\cdot\mathbf{\hat{m}}.\] |
\[\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}}{dt} + \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt} + R_s\mathbf{\bar{I}_s} = \mathbf{\bar{V}_s}.\] |
\[\frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|s}}}{dt} = j\omega \frac{3L_s}{2} \mathbf{\bar{I}_s}, \quad \frac{d\mathbf{\bar{\Psi}_{s|r}}}{dt} = j\omega \frac{3L_m}{2} \mathbf{\bar{I}_r},\] |
\[j\omega\frac{3L_s}{2}\mathbf{\bar{I}_s} + j\omega \frac{3L_m}{2}\mathbf{\bar{I}_r} + R_s\mathbf{\bar{I}_s} = \mathbf{\bar{V}_s}.\] | (2) |
3. Scorrimento e potenza meccanica
Definiamo scorrimento la quantità\[x \triangleq 1 - \frac{\omega_r}{\omega},\] |
\[\begin{array}{c} \mathbf{0} = j\omega x L'_r \mathbf{\bar{I}_r} + j\omega x L'_m \mathbf{\bar{I}_s} + R_r\mathbf{\bar{I}_r}\\ \\ \mathbf{\bar{V}_s} = j\omega L'_s\mathbf{\bar{I}_s} + j\omega L'_m\mathbf{\bar{I}_r} + R_s\mathbf{\bar{I}_s} \end{array}\] | (3) |
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{m}}}\wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}})\] |
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}(\mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{a}}} + \mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{b}}} + \mathbf{\bar{B}}_{\mathbf{\hat{c}}}) \wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}}\] |
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0} \left(\frac{3}{2}\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0 N_r}{2t}\right) \mathbf{\bar{I}_r}\wedge \mathbf{\bar{B}_\text{tot}}.\] |
\[\mathbf{T} = \frac{V_0}{2\mu_0}\left(\frac{3}{2}\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0N_r}{2t}\right) \mathbf{\bar{I}_r}\wedge \mathbf{\bar{B}_s} = \frac{V_0}{2\mu_0}\left(\frac{3}{2}\frac{4}{\pi}\frac{\mu_0}{2t}\right)^2 N_r N_s \mathbf{\bar{I}_r}\wedge\mathbf{\bar{I}_s} = \frac{3}{2} L'_m \mathbf{\bar{I}_r}\wedge\mathbf{\bar{I}_s}.\] |
\[\mathbf{\bar{I}_s} = j\frac{R_r}{\omega x L'_m} \mathbf{\bar{I}_r},\] |
\[\mathbf{T} = \frac{3}{2} L'_m \mathbf{\bar{I}_r}\wedge\left(j\frac{R_r}{\omega x L'_m}\mathbf{\bar{I}_r}\right).\] |
\[T = \frac{3}{2}\left(\frac{R_r}{\omega x}\right) \bar{I}_r^2.\] | (4) |
\[P_\text{mecc} = T\omega_r = \frac{3}{2}\left(\frac{1-x}{x} R_r\right) \bar{I}_r^2.\] | (5) |
4. Circuiti equivalenti
Definendo le tre reattanze, riferite alla pulsazione $\omega$, $X_{s,r,m} \triangleq \omega L'_{s,r,m}$, le equazioni caratteristiche del monofase equivalente di statore sono:\[\begin{array}{l} \mathbf{0} = jxX_r \mathbf{\bar{I}_r} + jxX_m \mathbf{\bar{I}_s} + R_r \mathbf{\bar{I}_r}\\ \\ \mathbf{\bar{V}_s} = jX_s \mathbf{\bar{I}_s} + jX_m \mathbf{\bar{I}_r} + R_s\mathbf{\bar{I}_s}. \end{array}\] | (6) |
- La corrente in ingresso è pari in modulo alla corrente statorica.
- La corrente che confluisce da destra all'induttanza trasversale è pari in modulo alla corrente rotorica.
- La potenza dissipata sul resistore $R_s$ rappresenta le perdite statoriche per effetto Joule.
- La potenza dissipata sul resistore $R_r$ raprresenta le perdite rotoriche per effetto Joule.
- La potenza assorbita dal resistore $R_r(1-x)/x$ rappresenta, come desideravamo, (un terzo) della potenza meccanicha erogata dalla macchina.
5. Modello ridotto e individuazione dei parametri
La Figura 3 mostra il circuito con induttore di corto circuito rotorico, a cui è stata aggiunta la resistenza parallela $R_0$ per tenere conto delle perdite nel circuito magnetico. L'asterisco apposto a $R_r$ sta ad indicare che i parametri derivano dalla trasformazione matematica del circuito derivata nel paragrafo precedente, e non coincide con il valore della resistenza fisica propra dell'Equazione 6. Al fine dell'individuazione dei parametri, si procede con le seguenti prove:- Prova a vuoto, ovvero senza carico meccanico. Si ottiene portando il rotore a sincronismo, spesso con un motore esterno, cosicché $x =0$. Il circuito statorico in condizione di prova a vuoto è mostrato in Figura 4(a). La prova a vuoto lega i parametri $R_s$, $R_0$ e $X_0$.
- Prova a rotore bloccato. Il rotore viene tenuto meccanicamente immobile, cosicché $x = 1$. La corrente che fluisce nel parallelo $R_0 \| X_0$ è spesso trascurabile, e il circuito statorico in condizione di prova a rotore bloccato è mostrato in Figura 4(b). La prova a rotore bloccato lega tra loro i parametri $R_s$, $R_r^*$ e $L_{kr}$.
6. Caratteristica meccanica
Solitamente, la macchina fa parte di un circuito trifase più ampio, che per questo vincola la tensione (di fase) statorica e la pulsazione $\omega$. Supponendo che $\mathbf{\bar{V}_s}$ sia nota, è possibile ricavare $T$ in funzione dello scorrimento $x$ e dei parametri propri della macchina (resistenze e induttanze). Infatti, con riferimento alla Figura 5, la potenza dissipata dalla resistenza $R_r^*(x-1)/x$, coincidente con la potenza meccanica generata dalla macchina, è\[P_\text{mecc} = \frac{3}{2}\,\frac{1-x}{x}\frac{R_r^* V_s^2}{{\left(R_s+\displaystyle\frac{R_r^*}{x}\right)^2 + X_{kr}^2}}.\] |
\[T = \frac{3}{2} \frac{R_r^* V_s^2}{\omega} \frac{x}{x^2(R_s^2 + X_{kr}^2) + x(2R_r^* R_s) + (R_r^*)^2}.\] | (7) |
\[T = \left(\frac{3}{2}\, \frac{V_s^2}{\omega R_r^*}\right) x + o(x),\quad x\to 0.\] |
\[x = \frac{R_r^*}{\sqrt{R_s^2 + X_{kr}^2}},\] |